Потенційна енергія залежить. Кінетична та потенційна енергія

Потенційну енергіюназивають енергією взаємодії фізичних тіл чи його частин між собою. Вона визначається їх взаємним розташуванням, тобто, відстанню з-поміж них, і дорівнює роботі, яку треба зробити, щоб перемістити тіло з точки відліку до іншої точки в полі дії консервативних сил.

Потенційну енергію має будь-яке нерухоме фізичне тіло, підняте на якусь висоту, тому що на нього діє сила тяжіння, що є консервативною силою. Таку енергію має вода на краю водоспаду, санки на вершині гори.

Звідки ця енергія з'явилася? Поки фізичне тіло піднімали на висоту, зробили роботу та витратили енергію. Ось ця енергія і запаслася у піднятому тілі. І тепер ця енергія готова до роботи.

Величина потенційної енергії тіла визначається висотою, де знаходиться тіло щодо якогось початкового рівня. За точку відліку ми можемо прийняти будь-яку обрану нами точку.

Якщо розглядати положення тіла щодо Землі, то потенційна енергія тіла лежить на поверхні Землі дорівнює нулю. А на висоті h вона обчислюється за такою формулою:

Е п = mɡh,

де m - маса тіла

ɡ - прискорення вільного падіння

h- Висота центру мас тіла щодо Землі

ɡ = 9,8 м/с 2

При падінні тіла з висоти h 1 до висоти h 2 сила тяжіння здійснює роботу. Ця робота дорівнює зміні потенційної енергії та має негативне значення, оскільки величина потенційної енергії при падінні тіла зменшується.

A = - (E п2 – E п1) = - ∆ E п ,

де E п1 - Потенційна енергія тіла на висоті h 1 ,

E п2 -потенційна енергія тіла на висоті h 2 .

Якщо ж тіло піднімають на якусь висоту, то виконують роботу проти тяжкості. І тут вона має позитивне значення. А величина потенційної енергії тіла зростає.

Потенційною енергією володіє і пружно деформоване тіло (стиснена або розтягнута пружина). Її величина залежить від жорсткості пружини і від того, на яку довжину її стиснули або розтягнули, і визначається за такою формулою:

Е п = k · (∆x) 2 / 2,

де k - Коефіцієнт жорсткості,

∆x- Подовження або стиснення тіла.

Потенційна енергія пружини може виконувати роботу.

Кінетична енергія

У перекладі з грецької «кінема» означає «рух». Енергія, яку фізичне тіло отримує внаслідок свого руху, називається кінетичної. Її величина залежить від швидкості руху.

Футбольний м'яч, що котиться полем, скотилися з гори і продовжують рухатися санки, випущена з лука стріла - всі вони мають кінетичну енергію.

Якщо тіло перебуває у стані спокою, його кінетична енергія дорівнює нулю. Як тільки на тіло діє сила або кілька сил, воно почне рухатися. А якщо тіло рухається, то сила, що діє на нього, здійснює роботу. Робота сили, під впливом якої тіло зі стану спокою перейде у рух і змінить свою швидкість від нуля до ν , називається кінетичною енергією тіла масою m .

Якщо ж у початковий момент часу тіло вже перебувало у русі, та його швидкість мала значення ν 1 , а в кінцевий момент вона дорівнювала ν 2 , то робота, виконана силою або силами, що діють на тіло, дорівнюватиме прирощенню кінетичної енергії тіла.

∆E k = E k2 - E k1

Якщо напрямок сили збігається з напрямком руху, то відбувається позитивна робота, і кінетична енергія тіла зростає. А якщо сила спрямована у бік, протилежний до напрямку руху, то відбувається негативна робота, і тіло віддає кінетичну енергію.

Кінетична енергіямеханічної системи – це енергія механічного руху цієї системи.

Сила F, діючи на тіло, що покоїться і викликаючи його рух, здійснює роботу, а енергія рухомого тіла зростає на величину витраченої роботи. Таким чином, робота dAсили Fна шляху, який тіло пройшло за час зростання швидкості від 0 до v, йде збільшення кінетичної енергії dTтіла, тобто.

Використовуючи другий закон Ньютона F=md v/dt

і помножуючи обидві частини рівності на переміщення d r, отримаємо

F d r= m (d v/dt)dr=dA

Таким чином, тіло масою т,що рухається зі швидкістю v,має кінетичну енергію

Т = тv 2 /2. (12.1)

З формули (12.1) видно, що кінетична енергія залежить тільки від маси та швидкості тіла, тобто кінетична енергія системи є функцією стану її руху.

При виведенні формули (12.1) передбачалося, що рух розглядається в інерційній системі відліку, оскільки інакше не можна було б використовувати закони Ньютона. У різних інерційних системах відліку, що рухаються одна щодо одної, швидкість тіла, а отже, і його кінетична енергія будуть неоднакові. Отже, кінетична енергія залежить від вибору системи відліку.

Потенціальна енергія -механічна енергія системи тіл, що визначається їх взаємним розташуванням та характером сил взаємодії між ними.

Нехай взаємодія тіл здійснюється за допомогою силових полів (наприклад, поля пружних сил, поля гравітаційних сил), що характеризуються тим, що робота, що здійснюється діючими силами при переміщенні тіла з одного положення в інше, не залежить від того, якою траєкторією це переміщення відбулося, а залежить тільки від початкового та кінцевого положень. Такі поля називаються потенційними,а сили, що діють у них, - консервативними.Якщо ж робота, що здійснюється силою, залежить від траєкторії переміщення тіла з однієї точки до іншої, то така сила називається дисипативної;її прикладом є сила тертя.

Тіло, перебуваючи в потенційному полі сил, має потенційну енергію II. Робота консервативних сил при елементарному (нескінченно малому) зміні конфігурації системи дорівнює збільшенню потенційної енергії, взятому зі знаком мінус, оскільки робота відбувається за рахунок зменшення потенційної енергії:

Робота d Авиражається як скалярний добуток сили Fна переміщення d rта вираз (12.2) можна записати у вигляді

F d r=-dП. (12.3)

Отже, якщо відома функція П( r), то з формули (12.3) можна знайти силу Fза модулем та напрямком.

Потенційна енергія може бути визначена виходячи з (12.3) як

де З - стала інтегрування, т. е. потенційна енергія визначається з точністю до деякої довільної постійної. Це, проте, не відбивається на фізичних законах, оскільки в них входить або різниця потенційних енергій у двох положеннях тіла, або похідна П за координатами. Тому потенційну енергію тіла в певному положенні вважають рівною нулю (вибирають нульовий рівень відліку), а енергію тіла в інших положеннях відраховують щодо нульового рівня. Для консервативних сил

або у векторному вигляді

F=-gradП, (12.4) де

(i, j, k- Поодинокі вектори координатних осей). Вектор, який визначається виразом (12.5), називається градієнтом скаляра П.

Для нього поряд із позначенням grad П застосовується також позначення П.  («набла») означає символічний вектор, званий операторомГамільтона або набла-оператором:

Конкретний вид функції залежить від характеру силового поля. Наприклад, потенційна енергія тіла масою т,піднятого на висоту hнад поверхнею Землі, дорівнює

П = mgh,(12.7)

де висота hвідраховується від нульового рівня, для якого П 0 = 0. Вираз (12.7) випливає безпосередньо з того, що потенційна енергія дорівнює роботі сили тяжіння при падінні тіла з висоти hна поверхню Землі.

Так як початок відліку вибирається довільно, то потенційна енергія може мати негативне значення (кінетична енергія завжди позитивна. !}Якщо прийняти за нуль потенційну енергію тіла, що лежить на поверхні Землі, то потенційна енергія тіла, що знаходиться на дні шахти (глибина h), П = - mgh".

Знайдемо потенційну енергію упругодеформованого тіла (пружини). Сила пружності пропорційна деформації:

F х упр = -kx,

де F x упр - проекція сили пружності на вісь х;k- коефіцієнт пружності(Для пружини - жорсткість),а знак мінус вказує, що F x упр спрямована у бік, протилежний деформації х.

За третім законом Ньютона, деформуюча сила дорівнює по модулю силі пружності і протилежно їй спрямована, тобто.

F x =-F x упр =kxЕлементарна робота dA,чинена силою F x при нескінченно малій деформації dx, дорівнює

dA = F x dx = kxdx,

а повна робота

йде збільшення потенційної енергії пружини. Таким чином, потенційна енергія упругодеформованого тіла

П =kx 2 /2.

Потенційна енергія системи, подібно до кінетичної енергії, є функцією стану системи. Вона залежить лише від конфігурації системи та її положення стосовно зовнішніх тіл.

Повна механічна енергія системи- енергія механічного руху та взаємодії:

тобто дорівнює сумі кінетичної та потенційної енергій.

Інженером та фізиком Вільямом Ренкіном.

Одиницею виміру енергії в СІ є Джоуль.

Потенційна енергія приймається рівною нулю для деякої конфігурації тіл у просторі, вибір якої визначається зручністю подальших обчислень. Процес вибору цієї конфігурації називається нормуванням потенційної енергії.

Коректне визначення потенційної енергії може бути дано лише у полі сил, робота яких залежить тільки від початкового та кінцевого положення тіла, але не від траєкторії його переміщення. Такі сили називаються консервативними.

Також потенційна енергія є характеристикою взаємодії кількох тіл або тіла та поля.

Будь-яка фізична система прагне стану з найменшою потенційною енергією.

Потенційна енергія пружної деформації характеризує взаємодію між собою частин тіла.

Потенційна енергія у полі тяжіння Землі

Потенційна енергія в полі тяжіння Землі поблизу поверхні приблизно виражається формулою:

де - Маса тіла, - Прискорення вільного падіння, - Висота положення центру мас тіла над довільно обраним нульовим рівнем.

Про фізичний сенс поняття потенційної енергії

• Якщо кінетична енергія може бути визначена для одного окремого тіла, то потенційна енергія завжди характеризує як мінімум два тіла або положення тіла у зовнішньому полі.
• Кінетична енергія характеризується швидкістю; потенційна – взаєморозташуванням тел.
• Основний фізичний сенс має саме значення потенційної енергії, та її зміна.

Див. також

Посилання

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитись що таке "Потенційна енергія" в інших словниках:

потенціальна енергія- Енергія, яку має об'єкт завдяки його положенню в геопотенційному полі. Наприклад, потенційна енергія спочатку розшарованого стовпа води збільшується в міру того, як енергія вітру перемішує його і виносить солонішу… Довідник технічного перекладача

ПОТЕНЦІАЛЬНА ЕНЕРГІЯ- Енергія взаємодії тіл; є частиною повної механічної енергії фіз. системи, що залежить від взаємного розташування її частинок та від їх становища у зовнішньому силовому полі (напр. гравітаційному); ін частиною повної механічної системи є ... ... Велика політехнічна енциклопедія

ПОТЕНЦІЯЛЬНА ЕНЕРГІЯ, вид ЕНЕРГІЇ, якою володіє тіло, завдяки його положенню на певній висоті в ПОВІДОМЛЕННЯ ГРАВІТАЦІЙНОМУ ПОЛІ. Потенційною енергією також є енергія, запасена в такій системі, як стиснута пружина, або ... Науково-технічний енциклопедичний словник

Частина загальної механіч. енергії системи, що залежить від взаємного розташування матеріальних точок, що становлять цю систему, та від їх положень у зовніш. силовому полі (напр., гравітаційному; (див. ПОЛЯ ФІЗИЧНІ). Чисельно П. е. системи в даному її… … Фізична енциклопедія

потенціальна енергія- ▲ енергія сила, фізичне поле кінетична енергія потенційна енергія енергія, що залежить від положення у зовнішньому силовому полі. ↓ калорійність. вибух. вибухнути … Ідеографічний словник української мови

ПОТЕНЦІЙНА енергія, частина загальної механічної енергії системи, яка залежить від взаємного розташування її частинок та від їхнього становища у зовнішньому силовому (наприклад, гравітаційному) полі. У сумі з кінетичною енергією потенційна енергія становить... Сучасна енциклопедія

Потенціальна енергія- ПОТЕНЦІЙНА ЕНЕРГІЯ, частина загальної механічної енергії системи, яка залежить від взаємного розташування її частинок та від їх становища у зовнішньому силовому (наприклад, гравітаційному) полі. У сумі з кінетичною енергією потенційна енергія становить... Ілюстрований енциклопедичний словник

Частина загальної механічної енергії системи, яка залежить від взаємного розташування її частинок та від їх становища у зовнішньому силовому (напр., гравітаційному) полі. Великий Енциклопедичний словник

потенціальна енергія- частина загальної механічної енергія системи, яка залежить від взаємного розташування частинок, що становлять цю систему, та від їх становища у зовнішньому силовому полі (наприклад, гравітаційному). Чисельно потенційна енергія системи дорівнює… Енциклопедичний словник з металургії

Частина загальної механічної енергії системи, що залежить від взаємного розташування її частинок та від їхнього становища у зовнішньому силовому (наприклад, гравітаційному) полі. * * * ПОТЕНЦІЙНА ЕНЕРГІЯ ПОТЕНЦІЙНА ЕНЕРГІЯ, частина загальної механічної енергії… … Енциклопедичний словник

Книги

• Потенційна енергія електричної взаємодії між електричними зарядами нуклонів та об'єднаннями нуклонів при їх зближенні , Ларін В.І.. У першій частині книги розглядається залежність потенційної енергії електричної взаємодії між електричними зарядами нуклонів та об'єднаннями нуклонів від варіантів їх зближення.

25.12.2014

Урок 32 (10 клас)

Тема. Потенціальна енергія

1. Робота сили тяжіння

Обчислимо роботу, використовуючи цього разу другий закон Ньютона, а явне вираз для сил взаємодії між тілами залежно від відстаней з-поміж них. Це дозволить нам запровадити поняття потенційної енергії - енергії, що залежить не від швидкостей тіл, а від відстаней між тілами (або від відстаней між частинами того самого тіла).
Обчислимо спочатку роботу сили тяжінняпри падінні тіла (наприклад, каменю) вертикально вниз. У початковий час тіло знаходилося на висоті h 1над поверхнею Землі, а в кінцевий момент часу – на висоті h 2 (рис.6.5). Модуль переміщення тіла.

Напрями векторів сили тяжіння та переміщення збігаються. Відповідно до визначення роботи (див. формулу (6.2)) маємо

Нехай тепер тіло кинули вертикально вгору з точки, розташованої на висоті h 1 ,над поверхнею Землі, і воно досягло висоти h 2 (рис.6.6). Вектори спрямовані в протилежні сторони, а модуль переміщення . Роботу сили тяжіння запишемо так:

Якщо тіло переміщається по прямій так, що напрямок переміщення складає кут з напрямком сили тяжіння ( рис.6.7), то робота сили тяжіння дорівнює:

З прямокутного трикутника BCDвидно що . Отже,

Формули (6.12), (6.13), (6.14) дозволяють помітити важливу закономірність. При прямолінійному русі тіла робота сили тяжіння у кожному разі дорівнює різниці двох значень величини, що залежить від положень тіла початковий і кінцевий моменти часу. Ці положення визначаються висотами h 1і h 2тіла над поверхнею землі.
Більше того, робота сили тяжіння при переміщенні тіла масою mз одного положення в інше не залежить від форми траєкторії, якою рухається тіло. Дійсно, якщо тіло переміщається вздовж кривої НД (рис.6.8), то, представивши цю криву у вигляді ступінчастої лінії, що складається з вертикальних і горизонтальних ділянок малої довжини, побачимо, що на горизонтальних ділянках робота сили тяжіння дорівнює нулю, оскільки сила перпендикулярна до переміщення, а сума робіт на вертикальних ділянках дорівнює роботі, яку здійснила б сила тяжіння при переміщенні тіла за вертикальним відрізком завдовжки h 1 -h 2.

Таким чином, робота при переміщенні вздовж кривої НДдорівнює:

При русі тіла замкнутою траєкторією робота сили тяжіння дорівнює нулю.Справді, нехай тіло рухається замкнутим контуром ВСDМВ (рис.6.9). На дільницях НДі DМсила тяжіння здійснює роботи, рівні за абсолютною величиною, але протилежні за знаком. Сума цих робіт дорівнює нулю. Отже, дорівнює нулю та робота сили тяжіння на всьому замкнутому контурі.

Сили, які мають такі властивості, називають консервативними.
Отже, робота сили тяжіння залежить від форми траєкторії тіла; вона визначається лише початковим та кінцевим положеннями тіла. При переміщенні тіла замкнутою траєкторією робота сили тяжіння дорівнює нулю.

2. Робота сили пружності

Подібно до силі тяжкості, сила пружності теж є консервативною. Щоб переконатися в цьому, обчислимо роботу, яку виконує пружина під час переміщення вантажу.
На малюнку 6.10 а показана пружина, у якої один кінець закріплений нерухомо, а до іншого кінця прикріплений кулю. Якщо пружина розтягнута, вона діє на кулю з силою ( рис.6.10,б), спрямованої до положення рівноваги кулі, у якому пружина не деформована. Початкове подовження пружини дорівнює. Обчислимо роботу сили пружності при переміщенні кулі з точки з координатою x 1у точку з координатою x 2. З малюнка 6.10 видно, що модуль переміщення дорівнює:

де – кінцеве подовження пружини.

Обчислити роботу сили пружності за такою формулою (6.2) не можна, оскільки ця формула справедлива лише з постійної сили, а сила пружності за зміни деформації пружини залишається постійної. Для обчислення роботи сили пружності скористаємося графіком залежності модуля сили пружності від координати кулі ( рис.6.11).

При постійному значенні проекції сили на переміщення точки застосування сили її робота може бути визначена за графіком залежності F xвід xі що ця робота чисельно дорівнює площі прямокутника. При довільній залежності F xвід x, Розбиваючи переміщення на малі відрізки, в межах кожного з яких силу можна вважати постійною, побачимо, що робота буде чисельно дорівнює площі трапеції.
У нашому прикладі робота сили пружності на переміщенні точки її застосування чисельно дорівнює площі трапеції ВCDM. Отже,

Відповідно до закону Гука та . Підставляючи ці вирази для сил у рівняння (6.17) та враховуючи, що , отримаємо

Або остаточно

Ми розглянули випадок, коли напрями сили пружності та переміщення тіла збігалися: . Але можна було б знайти роботу сили пружності, коли її напрямок протилежний переміщенню тіла або складає з ним довільний кут, а також при переміщенні тіла вздовж кривої довільної форми.
У всіх цих випадках рух тіла під дією сили пружностіми прийшли б до тієї ж формули до роботи (6.18). Робота сил пружності залежить від деформацій пружини й у початковому і кінцевому станах.
Таким чином, робота сили пружності не залежить від форми траєкторії і, як і сила тяжкості, сила пружності є консервативною.

3. Потенціальна енергія

Використовуючи другий закон Ньютона, що у випадку тіла, що рухається, робота сил будь-якої природи може бути представлена ​​у вигляді різниці двох значень деякої величини, яка залежить від швидкості тіла, - різниці між значеннями кінетичної енергії тіла в кінцевий і початковий моменти часу:

Якщо ж сили взаємодії між тілами є консервативними, то, використовуючи явні висловлювання для сил, ми показали, що роботу таких сил можна також у вигляді різниці двох значень деякої величини, яка залежить від взаємного розташування тіл (або частин одного тіла):

Тут висоти h 1і h 2визначають взаємне розташування тіла та Землі, а подовження та - взаємне розташування витків деформованої пружини (або значення деформацій іншого пружного тіла).
Величину, рівну добутку маси тіла mна прискорення вільного падіння gі на висоту hтіла над поверхнею Землі, називають потенційною енергією взаємодії тіла та Землі(Від латинського слова «потенція» - становище, можливість).
Умовимося позначати потенційну енергію буквою Е п:

Величину, рівну половині добутку коефіцієнта пружності kтіла на квадрат деформації потенційною енергією пружно деформованого тіла:

В обох випадках потенційна енергія визначається розташуванням тіл системи або частин одного тіла щодо один одного.
Ввівши поняття потенційної енергії, ми отримуємо можливість висловити роботу будь-яких консервативних сил через зміну потенційної енергії. Під зміною величини розуміють різницю між її кінцевим та початковим значеннями, тому .
Отже, обидва рівняння (6.20) можна записати так:

звідки.
Зміна потенційної енергії тіла дорівнює роботі консервативної сили, взятої зі зворотним знаком.
Ця формула дозволяє дати загальне визначення потенційної енергії.
Потенційною енергієюСистеми називається залежна від положення тіл величина, зміна якої при переході системи з початкового стану в кінцеве дорівнює роботі внутрішніх консервативних сил системи, взятої з протилежним знаком.
Знак «-» у формулі (6.23) означає, що робота консервативних сил завжди негативна. Він означає лише, що зміна потенційної енергії та робота сил у системі завжди мають протилежні знаки.
Наприклад, при падінні каменю на Землю його потенційна енергія зменшується, але сила тяжіння здійснює позитивну роботу ( A>0). Отже, Aта мають протилежні знаки відповідно до формули (6.23).
Нульовий рівень потенційної енергії.Відповідно до рівняння (6.23) робота консервативних сил взаємодії визначає не саму потенційну енергію, а її зміну.
Оскільки робота визначає лише зміна потенційної енергії, то зміна енергії в механіці має фізичний сенс. Тому можна довільно вибратистан системи, у якому її потенційна енергія вважаєтьсярівною нулю. Цьому стану відповідає нульовий рівень потенційної енергії. Жодне явище у природі чи техніці не визначається значенням самої потенційної енергії. Важлива лише різниця значень потенційної енергії у кінцевому та початковому станах системи тіл.
Вибір нульового рівня проводиться по-різному і диктується виключно міркуваннями зручності, тобто простотою запису рівняння, що виражає закон збереження енергії.
Зазвичай як стан з нульовою потенційною енергією вибирають стан системи з мінімальною енергією. Тоді потенційна енергія завжди позитивна чи дорівнює нулю.
Отже, потенційна енергія системи «тіло - Земля» - величина, яка залежить від положення тіла щодо Землі, рівна роботі консервативної сили при переміщенні тіла з точки, де воно знаходиться, у точку, що відповідає нульовому рівню потенційної енергії системи.
У пружини потенційна енергія мінімальна без деформації, а в системи «камінь - Земля» - коли камінь лежить на поверхні Землі. Тому в першому випадку , а другому випадку . Але до цих виразів можна додати будь-яку постійну величину C, І це нічого не змінить. Можна вважати, що .
Якщо в другому випадку покласти , то це означатиме, що за нульовий рівень енергії системи «камінь - Земля» прийнята енергія, що відповідає положенню каменю на висоті h 0над поверхнею Землі.
Ізольована система тіл прагне стану, у якому її потенційна енергія мінімальна.
Якщо не утримувати тіло, воно падає на землю ( h=0); якщо відпустити розтягнуту чи стислу пружину, вона повернеться у недеформований стан .
Якщо сили залежить тільки від відстаней між тілами системи, то робота цих сил залежить від форми траєкторії. Тому роботу можна як різниця значень деякої функції, званої потенційної енергією, у кінцевому і початковому станах системи. Значення потенційної енергії системи залежить від характеру сил, що діють, і для його визначення необхідно вказати нульовий рівень відліку.

Поняття енергії як фізичної величини вводиться для характеристики здатності тіла або системи до виконання роботи. Як відомо, є різні види енергії. Поряд з вже розглянутою вище кінетичною енергією, якою володіє тіло, що рухається, існують різні види потенційної енергії: потенційна енергія в полі тяжкості, потенційна енергія розтягнутої або стисненої пружини або взагалі будь-якого пружно деформованого тіла і т. д.

Перетворення енергії.Основна властивість енергії полягає в її здатності до перетворення з одного виду на інший в еквівалентних кількостях. Відомі приклади таких перетворень - перехід потенційної енергії в кінетичну при падінні тіла з висоти, перехід кінетичної енергій в потенційну при підйомі кинутого вгору тіла, чергуються взаємні перетворення кінетичної та потенційної енергій при коливаннях маятника. Кожен з вас може навести безліч інших подібних прикладів.

Потенційна енергія пов'язана із взаємодією тіл або частин одного тіла. Для послідовного запровадження цього поняття природно розглянути систему тіл, що взаємодіють. Відправним пунктом тут може служити теорема про кінетичну енергію системи, яка визначається як сума кінетичних енергій складових систему частинок:

Робота внутрішніх сил.Як і раніше, коли обговорювався закон збереження імпульсу системи тіл, ділитимемо діючі на тіла системи сили на зовнішні та внутрішні. За аналогією із законом зміни імпульсу можна було б очікувати, що для системи матеріальних точок зміна кінетичної енергії системи дорівнюватиме роботі тільки зовнішніх сил, що діють на систему. Але легко бачити, що це негаразд. При розгляді

зміни повного імпульсу системи імпульси внутрішніх сил взаємно знищувалися через третій закон Ньютона. Однак роботи внутрішніх сил попарно знищуватись не будуть, тому що в загальному випадку частинки, на які ці сили діють, можуть здійснювати різні переміщення.

Дійсно, при обчисленні імпульсів внутрішніх сил вони множилися на те саме час взаємодії, а при обчисленні роботи ці сили множаться на переміщення відповідних тіл, які можуть відрізнятися. Наприклад, якщо дві частинки, що притягуються, перемістяться назустріч один одному, то внутрішні сили їх взаємодії зроблять позитивні роботи і їх сума буде відмінна від нуля.

Таким чином, робота внутрішніх сил може призвести до зміни кінетичної енергії системи. Саме завдяки цій обставині механічна енергія системи взаємодіючих тіл не зводиться лише до їх кінетичних енергій. Повна механічна енергія системи поряд з кінетичною енергією включає потенційну енергію взаємодії частинок системи. Повна енергія залежить від положень та швидкостей частинок, тобто вона є функцією механічного стану системи.

Потенціальна енергія.Поруч із розподілом сил, які діють частинки системи, на зовнішні і внутрішні, запровадження поняття потенційної енергії необхідно розбити всі сили дві групи з іншого ознакою.

У першу групу віднесемо сили, робота яких при зміні взаємних положень частинок не залежить від способу зміни конфігурації системи, тобто від яких траєкторій і в якій послідовності частинки системи переміщуються зі своїх початкових положень в кінцеві. Такі сили називатимемо потенційними. Прикладами потенційних сил можуть бути сили тяжіння, кулонівські сили електростатичної взаємодії заряджених частинок, пружні сили. Відповідні силові поля також називають потенційними.

До другої групи віднесемо сили, робота яких залежить від форми шляху. Ці сили об'єднаємо за назвою непотенційних. Найбільш характерний приклад непотенційних сил – сила тертя ковзання, спрямована протилежно до відносної швидкості.

Робота у однорідному полі.Потенційна енергія кількісно визначається через роботу потенційних сил. Розглянемо, наприклад, деяке тіло в однорідному полі тяжкості Землі, яку через її велику масу вважатимемо нерухомою. В однорідному полі діє сила тяжіння всюди однакова, і тому, як було показано в попередньому параграфі,

її робота при переміщенні тіла не залежить від форми траєкторії, що з'єднує початкову та кінцеву точки. Робота сили тяжіння при переміщенні тіла з положення 1 в положення 2 (рис. 115) визначається лише різницею висот у початковому та кінцевому положеннях:

Оскільки робота залежить від форми шляху, може служити характеристикою початкової і кінцевої точок, т. е. характеристикою самого силового поля.

Мал. 115. Робота сили тяжіння при переміщенні з положення 1 до положення 2 дорівнює

Приймемо якусь точку поля (наприклад, ту, від якої відраховані висоти у формулі за початок відліку і будемо розглядати роботу, що здійснюється силою тяжкості при переміщенні частки в цю точку з іншої довільної точки Р, що знаходиться на висоті. 2), дорівнює і називається потенційною енергією частки у точці Р:

Фактично це є потенційна енергія гравітаційної взаємодії тіла та Землі, що створює це поле.

Робота та потенційна енергія.Робота сили тяжіння при переміщенні тіла з точки 1 в точку 2, що дається формулою (2), дорівнює різниці потенційних енергій у початковій та кінцевій точках шляху:

У довільному потенційному полі, де модуль і напрямок сили залежать від положення частинки, потенційна енергія в деякій точці Р, як і в однорідному полі, дорівнює роботі сили поля при переміщенні частинки з цієї точки Р початку відліку, тобто в фіксовану точку , Потенційна енергія в якій прийнята рівною нулю. Вибір точки, у якій потенційна енергія приймається рівною нулю, довільний і визначається лише міркуваннями зручності. Наприклад, у однорідному полі тяжкості Землі відлік висоти та потенційної енергії зручно вести від Землі (рівня моря).

Зазначена неоднозначність у визначенні потенційної енергії не позначається на результатах при практичному використанні поняття потенційної енергії, оскільки фізичний сенс

має тільки зміну потенційної енергії, тобто різницю її значень у двох точках поля, через яку виражається робота сил поля при переміщенні тіла з однієї точки до іншої.

Центральне поле.Покажемо потенційний характер центрального поля, в якому сила залежить лише від відстані до силового центру та спрямована на радіус. Прикладами центральних полів можуть бути поле тяжіння планети чи будь-якого тіла зі сферично-симетричним розподілом мас, електростатичне поле точкового заряду тощо.

Нехай тіло, на яке діє центральна сила спрямована по радіусу від силового центру (рис. 116), переміщається з точки 1 в точку 2 по деякій кривій. Розіб'ємо весь шлях, на маленькі ділянки так, щоб силу в межах кожної ділянки можна вважати постійною. Робота сили на такій ділянці

Але, як видно з рис. 116 є проекція елементарного переміщення на напрям радіуса-вектора проведеного з силового центру: Таким чином, - робота на окремій ділянці дорівнює добутку сили на зміну відстані до силового центру. Підсумовуючи роботи на всіх ділянках, переконуємося, що робота сил поля при переміщенні тіла з точки I до точки 2 дорівнює роботі по переміщенню вздовж радіусу з точки I до точки 3 (рис. 116). Отже, ця робота визначається лише початковою та кінцевою відстанями тіла від силового центру і не залежить від форми шляху, що і доводить потенційний характер будь-якого центрального поля.

Мал. 116. Робота сил центрального поля

Потенційна енергія у полі тяжіння.Щоб отримати явний вираз для потенційної енергії тіла в деякій точці поля, потрібно розрахувати роботу при переміщенні тіла з цієї точки до іншої, потенційна енергія в якій приймається рівною нулю. Наведемо вирази для потенційної енергії у деяких важливих випадках центральних полів.

Потенційна енергія гравітаційної взаємодії точкових мас і М або тіл із сферично-симетричним розподілом мас, центри яких знаходяться на відстані один від одного, дається виразом

Зрозуміло, про цю енергію можна говорити і як про потенційну енергію тіла маси в полі тяжіння, що створюється тілом маси М. У виразі (5) потенційна енергія прийнята рівною нулю при нескінченно великій відстані між взаємодіючими тілами: при

Для потенційної енергії тіла маси в полі тяжіння Землі зручно видозмінити формулу (5) з урахуванням співвідношення (7) § 23 і висловити потенційну енергію через прискорення вільного падіння поверхні Землі та радіус Землі

Якщо висота тіла над поверхнею Землі мала в порівнянні з радіусом Землі то, підставляючи у вигляді і використовуючи наближену формулу можна перетворити формулу (6) таким чином:

Перше доданок у правій частині (7) можна опустити, оскільки воно постійно, тобто не залежить від положення тіла. Тоді замість (7) маємо

що збігається з формулою (3), отриманої в наближенні "плоскої" Землі для однорідного поля тяжкості. Однак підкреслимо, що на відміну від (6) або (7) у формулі (8) потенційна енергія відраховується від поверхні Землі.

Завдання

1. Потенційна енергія у полі тяжіння Землі. Чому дорівнює потенційна енергія тіла на поверхні Землі та на нескінченно великій відстані від Землі, якщо прийняти її рівною нулю в центрі Землі?

Рішення. Щоб знайти потенційну енергію тіла на поверхні Землі за умови, що вона дорівнює нулю в центрі Землі, потрібно розрахувати роботу, що здійснюється силою тяжіння при уявному переміщенні тіла з поверхні Землі до її центру. Як було з'ясовано раніше (див. формулу (10) § 23), діюча на тіло, що знаходиться в глибині Землі, сила тяжіння пропорційна його відстані від центру Землі, якщо вважати Землю однорідною кулею з однаковою всюди щільністю:

Для обчислення роботи весь шлях від Землі до її центру розбиваємо на малі ділянки, протягом яких силу вважатимуться постійної. Робота на окремій малій ділянці зображується на графіку залежності сили від відстані (рис. 117) площею вузької заштрихованої смужки. Ця робота позитивна, оскільки напрями сили тяжіння та переміщення збігаються. Повна робота, очевидно,

зображується площею трикутника з основою та висотою

Значення потенційної енергії на поверхні Землі дорівнює роботі, що дається формулою (9):

Для того щоб знайти значення потенційної енергії на нескінченно великій відстані від Землі, слід врахувати, що різниця потенційних енергій на нескінченності та на поверхні Землі дорівнює, відповідно до (6), і не залежить від того, де обрано нуль потенційної енергії. Саме таку величину потрібно додати до значення (10) потенційної енергії на поверхні, щоб отримати потрібне значення на нескінченності:

2. Графік потенційної енергії. Побудуйте графік потенційної енергії тіла маси у полі тяжіння Землі, вважаючи її однорідною кулею.

Рішення. Приймемо для певності значення потенційної енергії у центрі Землі рівним нулю.

Мал. 117. До розрахунку потенційної енергії

Мал. 118. Графік потенційної енергії

Для будь-якої внутрішньої точки, що знаходиться на відстані від центру Землі, потенційна енергія розраховується так само, як і в попередній задачі: як випливає з рис. 117 вона дорівнює площі трикутника з основою і висотою Таким чином,

Для побудови графіка потенційної енергії, коли сила убуває назад пропорційно квадрату відстані (рис. 117), слід скористатися формулою (6). Але відповідно до зробленого вибору точки відліку потенційної енергії до значення, що дається

мулою (6), слід додати постійну величину

Повний графік показаний на ділянці від центру Землі до її поверхні він являє собою відрізок параболи (12), мінімум якої розташований при такій залежності іноді називають «квадратичною потенційною ямою». На ділянці від поверхні Землі до нескінченності графік є відрізок гіперболи (13). Ці відрізки параболи та гіперболи плавно, без зламу, переходять одна в одну. Хід графіка відповідає з того що у разі сил тяжіння потенційна енергія зростає зі збільшенням відстані.

Енергія пружної деформації.До потенційних сил відносяться також сили, що виникають при пружній деформації тіл. Відповідно до закону Гука ці сили пропорційні деформації. Тому потенційна енергія пружної деформації квадратично залежить від деформації. Це стає відразу зрозумілим, якщо врахувати, що залежність сили від усунення положення рівноваги тут така ж, як і у розглянутої вище сили тяжіння, що діє на тіло всередині однорідної масивної кулі. Наприклад, при розтягуванні або стисканні на пружній пружині жорсткості, коли діюча сила потенційна енергія дається виразом.

Тут прийнято, що положення рівноваги потенційна енергія дорівнює нулю.

Потенційна енергія у кожній точці силового поля має певне значення. Тому вона може бути характеристикою цього поля. Таким чином, силове поле можна описати, задаючи або силу у кожній точці, або значення потенційної енергії. Ці способи опису потенційного силового поля еквівалентні.

Зв'язок сили та потенційної енергії.Встановимо зв'язок цих двох способів опису, тобто загальне співвідношення між силою та зміною потенційної енергії. Розглянемо рух тіла між двома близькими точками поля. Робота сил поля при цьому переміщенні дорівнює. З іншого боку, ця робота дорівнює різниці значень потенційної енергії в початковій і кінцевій точках переміщення, тобто взятому зі зворотним знаком зміни потенційної енергії. Тому

Ліву частину цього співвідношення можна записати у вигляді твору проекції сили на напрямок переміщення та модуля цього переміщення Звідси

Проекція потенційної сили на довільний напрямок може бути знайдена як взяте зі зворотним знаком відношення зміни потенційної енергії при малому переміщенні вздовж цього напрямку до модуля переміщення.

Еквіпотенційні поверхні.Обом способам опису потенційного поля можна зіставити наочні геометричні образи - картини силових ліній чи еквіпотенційних поверхонь. Потенційна енергія частки силовому полі є функцією її координат. Прирівнюючи постійній величині, отримуємо рівняння поверхні, у всіх точках якої потенційна енергія має те саме значення. Ці поверхні рівних значень потенційної енергії, які називають еквіпотенційними, дають наочну картину силового поля.

Сила в кожній точці спрямована еквіпотенційної поверхні, що перпендикулярно проходить через цю точку. Це легко побачити за допомогою формули (15). Справді, виберемо переміщення по поверхні постійної енергії. Отже, дорівнює нулю проекція сили на поверхню Так, наприклад, у гравітаційному полі, створюваному тілом маси М зі сферично-симетричним розподілом мас, потенційна енергія тіла маси дається виразом Поверхні постійної енергії такого поля являють собою сфери, центри яких збігаються з силовим центром .

Сила, що діє на масу, перпендикулярна еквіпотенційній поверхні і спрямована до силового центру. Проекцію цієї сили на радіус, проведений із силового центру, можна знайти з виразу (5) для потенційної енергії за допомогою формули (15):

що придає

Отриманий результат підтверджує наведене вище без доказу вираз потенційної енергії (5).

Наочне уявлення про поверхні рівних значень потенційної енергії можна скласти на прикладі пересіченої рельєфу

місцевості. Крапкам земної поверхні, що знаходяться на одному горизонтальному рівні, відповідають однакові значення потенційної енергії поля тяжіння. Ці точки утворюють безперервні лінії. На топографічних картах такі лінії називають горизонталями. По горизонталі легко відновити всі риси рельєфу: пагорби, западини, сідловини. На крутих схилах горизонталі йдуть густіше, ближче один до одного, ніж на пологих. У цьому прикладі рівним значенням потенційної енергії відповідають лінії, а не поверхні, оскільки йдеться про силове поле, де потенційна енергія залежить від двох координат (а не від трьох).

Поясніть різницю між потенційними і непотенційними силами.

Що таке потенційна енергія? Які силові поля називають потенційними?

Отримайте вираз (2) для роботи сили тяжіння у однорідному полі Землі.

З чим пов'язана неоднозначність потенційної енергії та чому ця неоднозначність ніяк не позначається на фізичних результатах?

Доведіть, що у потенційному силовому полі, де робота при переміщенні тіла між будь-якими двома точками не залежить від форми траєкторії, робота при переміщенні тіла по будь-якому замкнутому шляху дорівнює нулю.

Отримайте вираз (6) для потенційної енергії тіла маси у полі тяжіння Землі. Коли слушна ця формула?

Як залежить потенційна енергія у полі тяжіння Землі від висоти над поверхнею? Розгляньте випадки, коли висота мала і коли вона можна порівняти з радіусом Землі.

Вкажіть на графіку залежності потенційної енергії від відстані (див. рис. 118) область, де справедливе лінійне наближення (7).

Виведення формули для потенційної енергії.Щоб отримати формулу (5) для потенційної енергії в центральному полі тяжіння, потрібно обчислити роботу сил поля при уявному переміщенні тіла маси з цієї точки в віддалену точку. Робота відповідно до формули (4) § 31, виражається інтегралом від сили вздовж траєкторії, якою переміщається тіло. Так як ця робота не залежить від форми траєкторії, обчислювати інтеграл можна для переміщення по радіусу, що проходить через цікаву для нас точку;