A potenciális energia attól függ. Kinetikus és potenciális energia

Helyzeti energia fizikai testek vagy részeik egymással való kölcsönhatási energiájának nevezzük. A relatív helyzetük, azaz a köztük lévő távolság határozza meg, és egyenlő azzal a munkával, amelyet a testnek a referenciapontból egy másik pontba való mozgatásához kell elvégezni a konzervatív erők hatásmezejében.

Bármely mozdulatlan fizikai test, amelyet valamilyen magasságba emelnek, potenciális energiával rendelkezik, mivel a gravitáció hat rá, ami konzervatív erő. Ilyen energiával rendelkezik a víz egy vízesés szélén, és egy szán a hegy tetején.

Honnan jött ez az energia? Amíg a fizikai testet a magasba emelték, munkát végeztek és energiát fordítottak. Ez az energia tárolódik a felemelt testben. És most ez az energia készen áll a munkára.

Egy test potenciális energiájának mennyiségét az határozza meg, hogy a test milyen magasságban helyezkedik el valamely kezdeti szinthez képest. Tetszőleges pontot vehetünk referenciapontnak.

Ha figyelembe vesszük a test helyzetét a Földhöz képest, akkor a test potenciális energiája a Föld felszínén nulla. És a tetején h képlettel számítjuk ki:

E p = mɡh,

Ahol m - testtömeg

ɡ - a gravitáció gyorsulása

h– a test tömegközéppontjának magassága a Földhöz képest

ɡ = 9,8 m/s 2

Amikor egy test leesik a magasból h 1 magasságig h 2 a gravitáció működik. Ez a munka egyenlő a potenciális energia változásával, és negatív értékű, mivel a potenciális energia mennyisége csökken, amikor a test leesik.

A = - (E p2 – E p1) = - ∆ E p ,

Ahol E p1 – a test potenciális energiája magasságban h 1 ,

E p2 - a test potenciális energiája magasságban h 2 .

Ha a testet egy bizonyos magasságra emeljük, akkor a gravitációs erők ellen dolgozunk. Ebben az esetben pozitív értéke van. És nő a test potenciális energiájának mennyisége.

A rugalmasan deformált test (összenyomott vagy feszített rugó) szintén rendelkezik potenciális energiával. Értéke a rugó merevségétől és hosszától függ, amelyre összenyomták vagy megfeszítették, és a következő képlet határozza meg:

E p = k·(∆x) 2 /2,

Ahol k - merevségi együttható,

∆x– a test meghosszabbítása vagy összenyomódása.

A rugó potenciális energiája képes működni.

Kinetikus energia

A „kinema” görög fordításban „mozgást” jelent. Azt az energiát, amelyet a fizikai test mozgása következtében kap, ún kinetikus. Értéke a mozgás sebességétől függ.

Egy pályán átguruló futballlabda, egy hegyről lefelé gördülő szán, és tovább mozog, egy íjból kilőtt nyíl – mindegyik rendelkezik mozgási energiával.

Ha egy test nyugalomban van, akkor a mozgási energiája nulla. Amint egy vagy több erő hat egy testre, az elkezd mozogni. És mivel a test mozog, a rá ható erő működik. Az erőmunka, amelynek hatására egy test nyugalmi állapotából mozgásba lép és sebességét nulláról nullára változtatja. ν , hívott kinetikus energia testtömeg m .

Ha a test a kezdeti pillanatban már mozgásban volt, és a sebessége számított ν 1 , és az utolsó pillanatban egyenlő volt ν 2 , akkor a testre ható erő vagy erők által végzett munka egyenlő lesz a test mozgási energiájának növekedésével.

∆E k = E k2 - E k1

Ha az erő iránya egybeesik a mozgás irányával, akkor pozitív munka történik, és a test mozgási energiája nő. Ha pedig az erőt a mozgási iránnyal ellentétes irányba irányítjuk, akkor negatív munka történik, és a test mozgási energiát ad le.

Kinetikus energia egy mechanikai rendszer mechanikai mozgásának energiája.

Kényszerítés F, nyugalmi testre hatva és mozgásra készteti, működik, és a mozgó test energiája a ráfordított munka mennyiségével nő. Szóval a munka dA erő F azon az úton, amelyen a test a sebesség 0-ról v-re történő növelése során haladt, a mozgási energia növelésére megy dT testek, azaz.

Newton második törvényét használva F=md v/dt

és az egyenlőség mindkét oldalát megszorozzuk a d elmozdulással r, kapunk

F d r=m(d v/dt)dr=dA

Így egy tömegtest T, sebességgel halad v, mozgási energiája van

T = tv 2 /2. (12.1)

A (12.1) képletből jól látható, hogy a mozgási energia csak a test tömegétől és sebességétől függ, vagyis a rendszer mozgási energiája mozgásállapotának függvénye.

A (12.1) képlet levezetésénél azt feltételeztük, hogy a mozgást inerciális vonatkoztatási rendszerben vettük figyelembe, mert különben lehetetlen lenne a Newton-törvények alkalmazása. Különböző, egymáshoz képest mozgó tehetetlenségi vonatkoztatási rendszerekben a test sebessége, így mozgási energiája nem lesz azonos. Így a kinetikus energia a referenciakeret megválasztásától függ.

Helyzeti energia - testek rendszerének mechanikai energiája, amelyet ezek kölcsönös elrendezése és a közöttük lévő kölcsönhatási erők természete határoz meg.

A testek kölcsönhatását erőtereken (például rugalmas erők mezőjén, gravitációs erőtéren) keresztül hajtsák végre, azzal jellemezve, hogy a ható erők által végzett munka a test egyik helyzetből a másikba való mozgatásakor nem függ attól a pályától, amely mentén ez a mozgás megtörtént, hanem csak a kezdő és véghelyzettől függ. Az ilyen mezőket ún lehetséges,és a bennük ható erők azok konzervatív. Ha egy erő által végzett munka függ az egyik pontból a másikba mozgó test pályájától, akkor egy ilyen erőt ún. disszipatív; erre példa a súrlódási erő.

Egy test potenciális erőtérben van potenciális energiával II. A konzervatív erők által végzett munka a rendszer konfigurációjának elemi (végtelenül kicsi) megváltoztatása során egyenlő a mínusz előjellel vett potenciális energia növekedésével, mivel a munka a potenciális energia csökkenése miatt történik:

Munka d A az erő pontszorzataként fejezzük ki F mozgatni d r a (12.2) kifejezés pedig úgy írható fel

F d r=-dP. (12.3)

Ezért ha a P( r), akkor a (12.3) képletből megtalálhatjuk az erőt F modul és irány szerint.

A potenciális energia a (12.3) as alapján határozható meg

ahol C az integrációs állandó, azaz a potenciális energia egy tetszőleges állandóig van meghatározva. Ez azonban nem tükröződik a fizikai törvényekben, mivel ezek magukban foglalják a potenciális energiák különbségét a test két helyzetében, vagy a P koordináták szerinti deriváltját. Ezért egy test potenciális energiáját egy bizonyos helyzetben nullának tekintjük (a nulla referenciaszintet választjuk), és a test energiáját más pozíciókban a nulla szinthez viszonyítva mérjük. A konzervatív erőknek

vagy vektoros formában

F=-gradP, (12.4) ahol

(i, j, k- koordinátatengelyek egységvektorai). A (12.5) kifejezés által meghatározott vektort hívjuk a skalár P gradiense.

Ehhez a grad P jelöléssel együtt a P megjelölés is használatos.  ("nabla") szimbolikus vektort jelent operátorHamilton vagy nabla operátor által:

A P függvény konkrét formája az erőtér természetétől függ. Például egy tömegű test potenciális energiája T, magasra emelve h a Föld felszíne felett egyenlő

P = mgh,(12.7)

hol van a magasság h a nulla szinttől mérjük, amelyre P 0 = 0. A (12.7) kifejezés közvetlenül következik abból, hogy a potenciális energia egyenlő a gravitáció által végzett munkával, amikor egy test leesik a magasságból. h a Föld felszínére.

Mivel az origót tetszőlegesen választják ki, a potenciális energia negatív értékű lehet (a mozgási energia mindig pozitív. !} Ha a Föld felszínén fekvő test potenciális energiáját nullának vesszük, akkor a tengely alján elhelyezkedő test potenciális energiáját (h" mélység), P = - mgh".

Határozzuk meg egy rugalmasan deformált test (rugó) potenciális energiáját. A rugalmas erő arányos az alakváltozással:

F x ellenőrzés = -kx,

Ahol F x ellenőrzés - rugalmas erő vetítése a tengelyre X;k- rugalmassági együttható(tavaszra - merevség),és a mínusz jel azt jelzi F x ellenőrzés az alakváltozással ellentétes irányba irányítva X.

Newton harmadik törvénye szerint a deformáló erő nagysága egyenlő a rugalmas erővel, és azzal ellentétes irányban irányul, azaz.

F x =-F x ellenőrzés =kx Elemi munka dA, F x erővel végrehajtva végtelenül kicsi dx alakváltozásnál egyenlő

dA = F x dx = kxdx,

teljes állás

a rugó potenciális energiájának növelésére megy. Így egy rugalmasan deformált test potenciális energiája

P =kx 2 /2.

A rendszer potenciális energiája a kinetikus energiához hasonlóan a rendszer állapotának függvénye. Ez csak a rendszer konfigurációjától és a külső testekhez viszonyított helyzetétől függ.

A rendszer teljes mechanikai energiája- a mechanikai mozgás és kölcsönhatás energiája:

azaz egyenlő a kinetikai és potenciális energiák összegével.

William Rankine mérnök és fizikus.

Az energia SI mértékegysége a Joule.

A potenciális energiát nullának tekintjük a térben lévő testek bizonyos konfigurációja esetén, amelynek kiválasztását a további számítások kényelme határozza meg. A konfiguráció kiválasztásának folyamatát ún a potenciális energia normalizálása.

A potenciális energia helyes definíciója csak olyan erőtérben adható meg, amelynek munkája csak a test kezdeti és végső helyzetétől, de mozgásának pályájától nem. Az ilyen erőket konzervatívnak nevezzük.

Ezenkívül a potenciális energia több test vagy egy test és egy mező kölcsönhatásának jellemzője.

Bármely fizikai rendszer a legalacsonyabb potenciális energiájú állapotba hajlik.

A rugalmas deformáció potenciális energiája jellemzi a testrészek közötti kölcsönhatást.

Potenciális energia a Föld gravitációs mezőjében

A Föld felszínhez közeli gravitációs mezőjében lévő potenciális energiát hozzávetőlegesen a következő képlet fejezi ki:

ahol a test tömege, a gravitációs gyorsulás, a test tömegközéppontjának magassága egy tetszőlegesen választott nulla szint felett.

A potenciális energia fogalmának fizikai jelentéséről

• Ha a mozgási energia egy egyedi testre meghatározható, akkor a potenciális energia mindig legalább két testet vagy egy test helyzetét egy külső térben jellemzi.
• A mozgási energiát a sebesség jellemzi; potenciál – a testek egymáshoz viszonyított helyzete alapján.
• A fő fizikai jelentés nem maga a potenciális energia értéke, hanem annak változása.

Lásd még

Linkek

Wikimédia Alapítvány. 2010.

Nézze meg, mi a „potenciális energia” más szótárakban:

helyzeti energia- Az az energia, amellyel egy tárgy a geopotenciálmezőben elfoglalt helye miatt rendelkezik. Például egy kezdetben rétegzett vízoszlop potenciális energiája növekszik, ahogy a szélenergia felkavarja és sósabbá teszi... ... Műszaki fordítói útmutató

HELYZETI ENERGIA- a testek kölcsönhatásának energiája; része a fizikai teljes mechanikai energiájának. olyan rendszer, amely a részecskéinek relatív helyzetétől és a külső (például gravitációs) erőtérben elfoglalt helyzetétől függ; a teljes gépészeti rendszer másik része a ...... Nagy Politechnikai Enciklopédia

POTENCIÁLIS ENERGIA, az ENERGIA egy fajtája, amellyel egy test a Föld GRAVITÁCIÓS TEREJÉBEN egy bizonyos magasságban elfoglalt helyzete miatt rendelkezik. A potenciális energia egy olyan rendszerben tárolt energia is, mint például egy összenyomott rugó, vagy... ... Tudományos és műszaki enciklopédikus szótár

Az általános mechanikus része a rendszer energiája, a rendszert alkotó anyagi pontok egymáshoz viszonyított helyzetétől és külső helyzetüktől függően. erőtér (például gravitációs; (lásd FIZIKAI MEZŐK). Numerikusan a rendszer P. e. az adott ... ... Fizikai enciklopédia

helyzeti energia- ▲ energiaerő, fizikai tér kinetikus energia potenciális energia energia a külső erőtérben elfoglalt pozíciótól függően. ↓ kalóriatartalom. robbanás. felrobban... Az orosz nyelv ideográfiai szótára

POTENCIÁLIS energia, a rendszer teljes mechanikai energiájának egy része, a részecskék relatív helyzetétől és a külső erőtérben (például gravitációs) való helyzetüktől függően. Összegezve a mozgási energiával, a potenciális energia ...... Modern enciklopédia

Helyzeti energia- POTENCIÁLIS ENERGIA, a rendszer teljes mechanikai energiájának része, részecskéinek relatív helyzetétől és külső erőtérben (például gravitációs) való elhelyezkedésétől függően. Összegezve a mozgási energiával, a potenciális energia ...... Illusztrált enciklopédikus szótár

Egy rendszer teljes mechanikai energiájának egy része, részecskéinek relatív helyzetétől és külső erőtérben (például gravitációs) való elhelyezkedésétől függően... Nagy enciklopédikus szótár

helyzeti energia- a rendszer teljes mechanikai energiájának egy része, a rendszert alkotó részecskék egymáshoz viszonyított helyzetétől és a külső erőtérben (például gravitációs erőtérben) elfoglalt helyzetüktől függően. Számszerűen a rendszer potenciális energiája egyenlő a ... ... Enciklopédiai Kohászati ​​Szótár

Egy rendszer teljes mechanikai energiájának egy része, a részecskék relatív helyzetétől és a külső erőtérben (például gravitációs) való helyzetüktől függően. * * * POTENCIÁLIS ENERGIA POTENCIÁLIS ENERGIA, a teljes mechanikai energia része... ... enciklopédikus szótár

Könyvek

• A nukleonok elektromos töltései és a nukleonok asszociációi közötti potenciális energia megközelítésük során, V.I. A könyv első része a nukleonok elektromos töltései és a nukleonok asszociációi közötti potenciális energia függését vizsgálja. megközelítésük lehetőségei,...

25.12.2014

32. lecke (10. osztály)

Tantárgy. Helyzeti energia

1. A gravitáció munkája

Számítsuk ki a munkát, ezúttal nem Newton második törvényét használva, hanem a testek közötti kölcsönhatási erők explicit kifejezését a köztük lévő távolság függvényében. Ez lehetővé teszi számunkra, hogy bemutassuk a potenciális energia fogalmát - olyan energiát, amely nem a testek sebességétől, hanem a testek közötti távolságoktól (vagy ugyanazon test részei közötti távolságoktól) függ.
Először számoljuk ki a munkát gravitáció amikor egy test (például egy kő) függőlegesen lefelé esik. A kezdeti pillanatban a test magasságban volt h 1 a Föld felszíne felett, és az idő végső pillanatában - egy magasságban h 2 (6.5). Testmozgás modul.

A gravitációs és elmozdulási vektorok irányai egybeesnek. A munka definíciója szerint (lásd a (6.2) képletet) megvan

Most a testet függőlegesen felfelé dobjuk egy magasságban található pontból h 1, a Föld felszíne felett, és elérte a magasságot h 2 (6.6). A és vektorok ellentétes irányúak, és az eltolási modul . A gravitáció munkáját a következőképpen írjuk fel:

Ha egy test egyenes vonalban mozog úgy, hogy a mozgás iránya szöget zár be a gravitáció irányával ( 6.7. ábra), akkor a gravitáció által végzett munka a következő:

Derékszögű háromszögből BCD ez egyértelmű. Ennélfogva,

A (6.12), (6.13), (6.14) képletek egy fontos szabályszerűség észrevételét teszik lehetővé. Amikor egy test egyenes vonalban mozog, a gravitáció által végzett munka minden esetben egyenlő egy olyan mennyiség két értékének különbségével, amely a test helyzetétől függ az idő kezdeti és végső pillanatában. Ezeket a pozíciókat a magasság határozza meg h 1És h 2 a Föld felszíne feletti testek.
Sőt, a gravitáció által végzett munka tömegtest mozgatásakor m egyik pozícióból a másikba nem függ a pálya alakjától, amelyen a test mozog. Valóban, ha egy test görbe mentén mozog Nap (6.8), akkor ezt a görbét rövid hosszúságú függőleges és vízszintes szakaszokból álló lépcsőzetes vonal formájában bemutatva azt látjuk, hogy a vízszintes szakaszokon a gravitáció által végzett munka nulla, mivel az erő merőleges az elmozdulásra, és a a függőleges szakaszokban végzett munka összege megegyezik azzal a munkával, amely a gravitációs erő lenne, amikor egy testet egy függőleges hosszszegmens mentén mozgatnak h 1-h 2.

Így a görbe mentén történő mozgás során végzett munka az Nap egyenlő:

Amikor egy test zárt pályán mozog, a gravitáció által végzett munka nulla. Valójában hagyja, hogy a test egy zárt körvonal mentén mozogjon VSDMV (6.9. ábra). A helyszíneken NapÉs DM a gravitációs erő abszolút értékben egyenlő, de előjelben ellentétes munkát végez. E munkák összege nulla. Következésképpen a gravitáció által a teljes zárt hurkon végzett munka is nulla.

Az ilyen tulajdonságokkal rendelkező erőket nevezzük konzervatív.
Tehát a gravitáció munkája nem függ a test röppályájának alakjától; csak a test kezdeti és végső helyzete határozza meg. Amikor egy test zárt pályán mozog, a gravitáció által végzett munka nulla.

2. A rugalmas erő munkája

A gravitációhoz hasonlóan a rugalmas erő is konzervatív. Ennek ellenőrzésére számoljuk ki a rugó által a teher mozgatásakor végzett munkát.
A 6.10a ábrán egy rugó látható, amelynek egyik vége rögzítve van, a másik végéhez pedig egy golyó van rögzítve. Ha a rugó meg van feszítve, akkor erővel hat a labdára ( 6.10. ábra, b), a golyó egyensúlyi helyzete felé irányul, amelyben a rugó nem deformálódik. A rugó kezdeti megnyúlása . Számítsuk ki a rugalmas erő által végzett munkát, amikor egy golyót egy koordinátájú pontból mozgat x 1 koordinátájú pontra x 2. A 6.10, c ábrából jól látható, hogy az eltolási modul egyenlő:

hol van a rugó végső megnyúlása.

A (6.2) képlettel nem lehet kiszámítani a rugalmas erő munkáját, mivel ez a képlet csak állandó erőre érvényes, és a rugalmas erő nem marad állandó a rugó alakváltozása esetén. A rugalmas erő munkájának kiszámításához a rugalmas erő modulusának a labda koordinátáitól való függésének grafikonját használjuk ( 6.11. ábra).

Az erőkifejtési pont elmozdulására vonatkozó erővetítés állandó értékénél a munkája a függőségi grafikonból meghatározható Fx tól től xés hogy ez a munka számszerűen egyenlő a téglalap területével. Önkényes függéssel Fx tól től x, az elmozdulást kis szegmensekre osztva, amelyek mindegyikén belül az erő állandónak tekinthető, látni fogjuk, hogy a munka számszerűen egyenlő lesz a trapéz területével.
Példánkban a rugalmas erő munkája az alkalmazási pont mozgatására számszerűen megegyezik a trapéz területével BCDM. Ennélfogva,

Hooke törvénye szerint és . Ezeket a kifejezéseket behelyettesítve az erőkre a (6.17) egyenletbe, és ezt figyelembe véve , kapunk

Vagy végül

Azt az esetet vizsgáltuk, amikor a rugalmas erő és a test elmozdulásának iránya egybeesett: . De meg lehetne találni a rugalmas erő munkáját, ha annak iránya ellentétes a test mozgásával, vagy tetszőleges szöget zár be vele, valamint ha a test egy tetszőleges alakú görbe mentén mozog.
Mindezekben az esetekben a testmozgások hatása alatt rugalmas erők ugyanarra a munkaképletre jutnánk (6.18). A rugalmas erők munkája csak a rugó deformációjától függ mind a kezdeti, mind a végállapotban.
Így a rugalmas erő munkája nem függ a pálya alakjától, és a gravitációhoz hasonlóan a rugalmas erő konzervatív.

3. Helyzeti energia

Newton második törvényét felhasználva, miszerint mozgó test esetén bármilyen természetű erők munkája a test sebességétől függően egy bizonyos mennyiségű két érték különbségeként ábrázolható - az értékek különbségeként. a test mozgási energiája a végső és a kezdeti időpillanatokban:

Ha a testek közötti kölcsönhatási erők konzervatívak, akkor az erőkre kifejezett kifejezésekkel megmutattuk, hogy az ilyen erők munkája egy bizonyos mennyiségű két érték különbségeként is ábrázolható, a relatív helyzettől függően. a testek (vagy egy test részei):

Itt vannak a magasságok h 1És h 2 határozza meg a test és a Föld egymáshoz viszonyított helyzetét, valamint a nyúlásokat, és határozza meg a deformált rugó fordulatainak egymáshoz viszonyított helyzetét (vagy egy másik rugalmas test deformációinak értékét).
A testtömeg szorzatával egyenlő érték m a szabadesés gyorsulásához gés a magasságba h a Föld felszíne feletti testeket nevezzük a test és a Föld közötti kölcsönhatás potenciális energiája(a latin „potencia” szóból - pozíció, lehetőség).
Egyezzünk meg abban, hogy a potenciális energiát betűvel jelöljük E p:

A rugalmassági együttható szorzatának felével egyenlő érték k Az alakváltozás négyzetére eső testet ún rugalmasan deformált test potenciális energiája:

A potenciális energiát mindkét esetben a rendszer testeinek vagy egy testrésznek egymáshoz viszonyított elhelyezkedése határozza meg.
A potenciális energia fogalmának bevezetésével a potenciális energia változásán keresztül bármely konzervatív erő munkáját képesek vagyunk kifejezni. Egy mennyiség változásán a végső és a kezdeti értéke közötti különbséget értjük, ezért .
Ezért mindkét (6.20) egyenlet a következőképpen írható fel:

ahol .
A test potenciális energiájának változása megegyezik a konzervatív erő által végzett munkával, ellenkező előjellel.
Ez a képlet lehetővé teszi a potenciális energia általános definícióját.
Helyzeti energia rendszer a testek helyzetétől függő mennyiség, melynek változása a rendszernek a kezdeti állapotból a végállapotba való átmenete során megegyezik a rendszer belső konzervatív erőinek ellentétes előjellel vett munkájával.
A „-” jel a (6.23) képletben nem jelenti azt, hogy a konzervatív erők munkája mindig negatív. Ez csak azt jelenti, hogy a potenciális energia változása és az erők munkája a rendszerben mindig ellentétes előjelű.
Például amikor egy kő a Földre esik, potenciális energiája csökken, de a gravitáció pozitív munkát végez ( A>0). Ennélfogva, Aés ellentétes előjelük van a (6.23) képlet szerint.
A potenciális energia nulla szintje. A (6.23) egyenlet szerint a konzervatív kölcsönhatási erők munkája nem magát a potenciális energiát, hanem annak változását határozza meg.
Mivel a munka csak a potenciális energia változását határozza meg, ezért a mechanikában csak az energiaváltozásnak van fizikai jelentése. Ezért önkényesen választ egy rendszer állapota, amelyben a potenciális energiája számít egyenlő nullával. Ez az állapot a potenciális energia nulla szintjének felel meg. A természetben vagy a technológiában egyetlen jelenséget sem határoz meg maga a potenciális energia értéke. Ami fontos, az a különbség a potenciális energia értékek között a testrendszer végső és kezdeti állapotában.
A nulla szint kiválasztása különböző módokon történik, és kizárólag a kényelmi szempontok, azaz az energiamegmaradás törvényét kifejező egyenlet megírásának egyszerűsége szabják meg.
Jellemzően a rendszer minimális energiájú állapotát választják nulla potenciális energiájú állapotnak. Ekkor a potenciális energia mindig pozitív vagy egyenlő nullával.
Tehát a „test - Föld” rendszer potenciális energiája egy olyan mennyiség, amely a testnek a Földhöz viszonyított helyzetétől függ, és megegyezik egy konzervatív erő munkájával, amikor a testet a helyétől a helyére mozgatják. a rendszer potenciális energiájának nulla szintjének megfelelő pont.
Egy rugó esetében a potenciális energia minimális deformáció hiányában, a „kő-föld” rendszernél pedig - amikor a kő a Föld felszínén fekszik. Ezért az első esetben , a második esetben pedig . De bármilyen állandó értéket hozzáadhat ezekhez a kifejezésekhez C, és ez nem változtat semmin. Feltételezhető, hogy .
Ha a második esetben tesszük, akkor ez azt jelenti, hogy a „kő-Föld” rendszer nulla energiaszintjét a kő magasságban elfoglalt helyzetének megfelelő energiának tekintjük. h 0 a Föld felszíne felett.
A testek elszigetelt rendszere olyan állapotba hajlik, amelyben potenciális energiája minimális.
Ha nem tartja a testet, az a földre esik ( h=0); Ha elenged egy megfeszített vagy összenyomott rugót, az visszaáll deformálatlan állapotába.
Ha az erők csak a rendszer testei közötti távolságoktól függenek, akkor ezeknek az erőknek a munkája nem függ a pálya alakjától. Ezért a munka egy bizonyos funkció, az úgynevezett potenciális energia értékei közötti különbségként ábrázolható a rendszer végső és kezdeti állapotában. A rendszer potenciális energiájának értéke a ható erők jellegétől függ, ennek meghatározásához a nulla referenciaszint feltüntetése szükséges.

Az energia mint fizikai mennyiség fogalmát egy test vagy testrendszer munkavégző képességének jellemzésére vezetik be. Mint tudják, különböző típusú energiák léteznek. A fentebb már tárgyalt kinetikus energián kívül, amellyel egy mozgó test rendelkezik, a potenciális energia többféle típusa létezik: potenciális energia gravitációs térben, megfeszített vagy összenyomott rugó, vagy általában bármilyen rugalmasan deformált test potenciális energiája stb.

Energia átalakulások. Az energia fő tulajdonsága, hogy egyenértékű mennyiségben képes egyik típusból a másikba átalakulni. Az ilyen átalakulások jól ismert példái a potenciális energia átalakulása mozgási energiává, amikor egy test leesik a magasságból, a kinetikus energiák átalakulása potenciális energiává, amikor egy felfelé dobott test felemelkedik, valamint a kinetikus és potenciális energiák váltakozó, kölcsönös átalakulása rezgés közben. egy inga. Mindannyian sok más hasonló példát tudtok mondani.

A potenciális energia testek vagy testrészek kölcsönhatásaihoz kapcsolódik. Ennek a fogalomnak a következetes bevezetéséhez természetes, hogy kölcsönható testek rendszerét tekintjük. A kiindulópont itt a rendszer kinetikus energiájáról szóló tétel lehet, amelyet a rendszert alkotó részecskék kinetikus energiáinak összegeként definiálunk:

A belső erők munkája. Mint korábban, amikor egy testrendszer impulzusmegmaradásának törvényét tárgyaltuk, a rendszer testeire ható erőket külső és belső erőkre osztjuk fel. Az impulzus változásának törvényével analóg módon azt várnánk, hogy egy anyagi pontrendszer esetében a rendszer mozgási energiájának változása megegyezik a rendszerre ható külső erők által végzett munkával. De könnyen belátható, hogy ez nem így van. Átdolgozásával

a rendszer teljes lendületében bekövetkezett változások, a belső erők impulzusai kölcsönösen megsemmisültek Newton harmadik törvénye következtében. A belső erők munkája azonban nem páronként tönkremegy, mivel általában azok a részecskék, amelyekre ezek az erők hatnak, különböző mozgásokat végezhetnek.

Valóban, a belső erők impulzusainak számításakor ugyanazt a kölcsönhatási időt szorozták meg, a munka kiszámításakor pedig ezeket az erőket a megfelelő testek elmozdulásaival, amelyek eltérőek lehetnek. Például, ha két vonzó részecske mozog egymás felé, akkor a kölcsönhatásuk belső erői pozitív munkát végeznek, és összegük nem lesz nulla.

Így a belső erők munkája a rendszer mozgási energiájának megváltozásához vezethet. Éppen ennek a körülménynek köszönhető, hogy a kölcsönható testek rendszerének mechanikai energiája nem redukálódik csupán mozgási energiáik összegére. A rendszer teljes mechanikai energiája a kinetikus energiával együtt magában foglalja a rendszer részecskéi közötti kölcsönhatás potenciális energiáját is. Az összenergia a részecskék helyzetétől és sebességétől függ, azaz a rendszer mechanikai állapotának függvénye.

Helyzeti energia. A rendszer részecskéire ható erők külső és belső felosztása mellett a potenciális energia fogalmának bevezetéséhez szükséges az összes erőt két csoportra osztani egy másik kritérium szerint.

Az első csoportba azok az erők tartoznak, amelyek munkája a részecskék egymáshoz viszonyított helyzetének megváltozásakor nem függ a rendszer konfigurációjának megváltoztatásának módjától, azaz attól, hogy a rendszer részecskéi milyen pályákon és milyen sorrendben mozognak kiindulási helyzetükből. az utolsóikhoz. Az ilyen erőket potenciálisnak nevezzük. A potenciális erők közé tartoznak például a gravitációs erők, a töltött részecskék elektrosztatikus kölcsönhatásából eredő Coulomb-erők és a rugalmas erők. A megfelelő erőtereket potenciálnak is nevezik.

A második csoportba azok az erők tartoznak, amelyek munkája az út alakjától függ. Ezeket az erőket nem potenciális néven fogjuk egyesíteni. A nem potenciális erők legjellemzőbb példája a csúszó súrlódási erő, amely a relatív sebességgel ellentétes irányban irányul.

Munkavégzés egységes területen. A potenciális energiát a potenciális erők munkája révén számszerűsítik. Tekintsünk például egy bizonyos testet a Föld egyenletes gravitációs mezejében, amelyet nagy tömege miatt mozdulatlannak fogunk tekinteni. Egyenletes térben a testre ható gravitációs erő mindenhol azonos, ezért, amint az előző bekezdésből kiderült,

a test mozgatásakor végzett munkája nem függ a kezdő- és végpontot összekötő pálya alakjától. A gravitáció munkáját a test 1. pozícióból 2. pozícióba történő mozgatásakor (115. ábra) csak a kezdeti és a végső helyzet magasságkülönbsége határozza meg:

Mivel a munka nem függ az út alakjától, a kezdő- és végpont jellemzőjeként szolgálhat, vagyis magának az erőtérnek a jellemzője.

Rizs. 115. A gravitáció által végzett munka az 1. pozícióból a 2. pozícióba való mozgáskor egyenlő

Vegyük origónak a mező bármely pontját (például azt, ahonnan a képletben a magasságokat mérjük, és figyelembe vesszük a gravitáció által végzett munkát, amikor egy részecskét ebbe a pontba mozgatunk egy másik tetszőleges P pontból, amely a képletben található. magasság Ez a munka a (2) szerint egyenlő a részecske potenciális energiájával a P pontban, és ezt nevezzük:

Valójában ez a test és a Föld gravitációs kölcsönhatásának potenciális energiája, amely létrehozza ezt a mezőt.

Munka és potenciális energia. A gravitáció által végzett munka, amikor a testet 1 pontból 2 pontba mozgatja, a (2) képlet alapján egyenlő a potenciális energiák különbségével az út kezdeti és végső pontjában:

Egy tetszőleges potenciálmezőben, ahol az erő nagysága és iránya a részecske helyzetétől függ, a potenciális energia egy P pontban, mint egy egyenletes mezőben, megegyezik a térerő munkájával, amikor a részecske elmozdul ez a P pont az origóhoz, azaz egy fix ponthoz, amelyben a potenciális energia nullának számít. Annak a pontnak a megválasztása, ahol a potenciális energiát nullának kell tekinteni, önkényes, és csak a kényelmi szempontok határozzák meg. Például a Föld egyenletes gravitációs mezőjében kényelmes a magasság és a potenciális energia mérése a Föld felszínéről (tengerszintről).

A potenciális energia definíciójában tapasztalt kétértelműség semmilyen módon nem befolyásolja a potenciális energia fogalmának gyakorlati használatának eredményeit, mivel a fizikai jelentés

csak a potenciális energiában változik, vagyis a mező két pontján lévő értékeinek különbsége, amelyen keresztül a térerők munkája kifejeződik, amikor a testet egyik pontból a másikba mozgatják.

Központi mező. Mutassuk meg a centrális mező potenciál jellegét, amelyben az erő csak az erőközéppont távolságától függ, és a sugár mentén irányul. Példák a központi mezőkre egy bolygó vagy bármely test gömbszimmetrikus tömegeloszlású gravitációs tere, egy ponttöltés elektrosztatikus tere stb.

Hagyja, hogy a test, amelyre az O erőközéppontból sugárirányban ható központi erő hat (116. ábra), egy bizonyos görbe mentén mozduljon el az 1. pontból a 2. pontba. Osszuk fel a teljes utat kis szakaszokra, hogy az egyes szakaszokon belüli erőt állandónak lehessen tekinteni. Az erő munkája egy ilyen szakaszban

De amint az az ábrából is látható. A 116. ábrán egy elemi elmozdulás vetülete van az erőközéppontból húzott sugárvektor irányára: Így egy külön szakaszon végzett munka egyenlő az erő és az erőközéppont távolságváltozásának szorzatával. Összegezve a munkát minden szakaszban, meggyőződésünk, hogy a térerők munkája, amikor egy testet mozgat az I pontból a 2. pontba, megegyezik a sugár mentén az I pontból a 3. pontba történő mozgással (116. ábra). Tehát ezt a munkát csak a test kezdeti és végső távolsága határozza meg az erőközponttól, és nem függ az út alakjától, ami bizonyítja bármely központi mező potenciális jellegét.

Rizs. 116. Központi erők munkája

Potenciális energia a gravitációs mezőben. Egy test potenciális energiájának kifejezett kifejezéséhez a mező egy bizonyos pontjában ki kell számítani azt a munkát, amelyet egy testnek ebből a pontból a másikba való áthelyezése során végeznek, ahol a potenciális energiát nullának kell tekinteni. Mutassunk be kifejezéseket a potenciális energiára a központi mezők néhány fontos esetében.

Ponttömegek és M vagy gömbszimmetrikus tömegeloszlású testek gravitációs kölcsönhatásának potenciális energiáját, amelyek középpontjai egymástól távol helyezkednek el, a kifejezéssel adjuk meg.

Természetesen erről az energiáról úgy is beszélhetünk, mint egy tömegű test potenciális energiájáról az M tömegű test által létrehozott gravitációs térben. Az (5) kifejezésben a potenciális energiát végtelenül nagy távolságban nullával egyenlőnek tekintjük. kölcsönható testek között: at

A Föld gravitációs terében lévő tömegű test potenciális energiájához célszerű az (5) képletet módosítani a 23. § (7) összefüggésének figyelembevételével, és a potenciális energiát a gravitációs gyorsulásban kifejezni. A Föld felszíne és a Föld sugara

Ha a test magassága a Föld felszíne felett kicsi a Föld sugarához képest, akkor a formába behelyettesítve és egy közelítő képlet segítségével a (6) képletet a következőképpen alakíthatjuk át:

A (7) jobb oldalán lévő első tag elhagyható, mivel állandó, azaz nem függ a test helyzetétől. Akkor a (7) helyett megvan

amely egybeesik a (3) képlettel, amelyet az egyenletes gravitációs térre vonatkozó „lapos” Föld közelítésben kapunk. Hangsúlyozzuk azonban, hogy a (6) vagy (7) ponttal ellentétben a (8) képletben a potenciális energiát a Föld felszínétől mérik.

Feladatok

1. Potenciális energia a Föld gravitációs mezőjében. Mekkora a Föld felszínén és a Földtől végtelenül nagy távolságban lévő test potenciális energiája, ha a Föld középpontjában nullával egyenlőnek vesszük?

Megoldás. Egy test potenciális energiájának megtalálásához a Föld felszínén, feltéve, hogy a Föld középpontjában nullával egyenlő, ki kell számítanunk a gravitációs erő által végzett munkát, amikor egy testet mentálisan elmozdítunk a Föld felszínéről. a Földet a középpontjába. Mint korábban kiderült (lásd (10) képlet 23. §), a Föld mélyén elhelyezkedő testre ható gravitációs erő arányos annak távolságával a Föld középpontjától, ha a Földet homogénnek tekintjük. mindenhol azonos sűrűségű labda:

A munka kiszámításához a teljes utat a Föld felszínétől a középpontig kis szakaszokra osztjuk, amelyeken az erő állandónak tekinthető. A különálló kis területen végzett munkát az erő és a távolság grafikonja (117. ábra) egy keskeny árnyékolt csík területével ábrázolja. Ez a munka pozitív, mivel a gravitáció és az elmozdulás iránya egybeesik. Egyértelműen teljes munka

egy alappal és magassággal rendelkező háromszög területe ábrázolja

A potenciális energia értéke a Föld felszínén megegyezik a (9) képlet által megadott munkával:

A Földtől végtelenül nagy távolságban lévő potenciális energia értékének meghatározásához figyelembe kell venni, hogy a végtelenben és a Föld felszínén lévő potenciális energiák közötti különbség a (6) szerint egyenlő, és nem függ attól, hogy hol van a nulla potenciális energia kiválasztva. Ezt az értéket kell hozzáadni a felületen lévő potenciális energia értékéhez (10), hogy a végtelenben megkapjuk a kívánt értéket:

2. Potenciális energia grafikonja. Szerkessze meg a Föld gravitációs terében lévő tömegű test potenciális energiájának grafikonját, tekintve azt egységes gömbnek!

Megoldás. A határozottság kedvéért vegyük a Föld középpontjában a potenciális energia nullával egyenlő értékét.

Rizs. 117. A potenciális energia kiszámításához

Rizs. 118. Potenciális energia grafikonja

A Föld középpontjától bizonyos távolságra elhelyezkedő belső pontok esetén a potenciális energiát az előző feladathoz hasonlóan számítjuk ki: a 2. ábra szerint. 117, ez egyenlő egy alappal és magassággal rendelkező háromszög területével.

A potenciális energia grafikonjának ábrázolásához, ahol az erő a távolság négyzetével fordított arányban csökken (117. ábra), a (6) képletet kell használni. De a potenciális energia referenciapontjának a megadott értékhez való választásának megfelelően

mula (6), állandó értéket kell hozzáadni Ezért

A teljes grafikon a következő képen látható: A Föld középpontjától a felszínig terjedő területen egy parabola (12) egy szakaszát ábrázolja, amelynek minimuma a következő helyen található. Ezt a függőséget néha „négyzetes potenciálkútnak” is nevezik. A Föld felszínétől a végtelenig terjedő szakaszon a grafikon egy hiperbola (13) szakasza. A parabola és a hiperbola ezen szakaszai simán, megszakítás nélkül átmennek egymásba. A grafikon lefutása megfelel annak, hogy vonzó erők esetén a potenciális energia a távolság növekedésével növekszik.

A rugalmas alakváltozás energiája. A potenciális erők közé tartoznak a testek rugalmas alakváltozása során fellépő erők is. A Hooke-törvény szerint ezek az erők arányosak az alakváltozással. Ezért a rugalmas alakváltozás potenciális energiája négyzetesen függ az alakváltozástól. Ez azonnal világossá válik, ha figyelembe vesszük, hogy az egyensúlyi helyzetből való elmozdulástól való erő függése itt megegyezik a homogén tömegű golyó belsejében lévő testre ható gravitációs erővel. Például egy rugalmas rugó nyújtásakor vagy összenyomásakor a k merevséget, ha a ható erőt, a potenciális energiát a kifejezés adja meg.

Itt feltételezzük, hogy az egyensúlyi helyzetben a potenciális energia nulla.

Az erőtér minden pontjában a potenciális energia bizonyos értékű. Ezért e terület jellemzőjeként szolgálhat. Így egy erőteret úgy írhatunk le, hogy megadjuk az erőt az egyes pontokban, vagy a potenciális energia értékét. A potenciális erőtér leírásának ezen módjai egyenértékűek.

Az erő és a potenciális energia kapcsolata.Állapítsuk meg a kapcsolatot e két leírási módszer között, vagyis az erő és a potenciális energia változása közötti általános összefüggést. Tekintsük egy test mozgását a mező két közeli pontja között. A térerők e mozgás során végzett munkája egyenlő . Másrészt ez a munka megegyezik a potenciális energia értékei közötti különbséggel a mozgás kezdeti és végső pontjában, azaz a potenciális energia ellentétes előjellel vett változásával. Ezért

Ennek az összefüggésnek a bal oldala felírható a mozgás irányára vetített erő és a mozgás modulusának szorzataként

A potenciális erő tetszőleges irányra való vetülete az ezen irányban kis elmozdulás melletti potenciális energia változásának az ellenkező előjellel vett elmozdulási modulushoz viszonyított arányaként.

Egyenpotenciál felületek. A potenciálmező leírásának mindkét módszere összehasonlítható vizuális geometriai képekkel – erővonalak vagy ekvipotenciális felületek képeivel. Az erőtérben lévő részecske potenciális energiája a koordinátáinak függvénye. Egy állandó értékkel egyenlítve megkapjuk egy olyan felület egyenletét, amelynek minden pontján a potenciális energia azonos értékű. Ezek az egyenlő potenciális energiájú felületek, az úgynevezett ekvipotenciálok, világos képet adnak az erőtérről.

Az erő minden pontban merőleges az ezen a ponton áthaladó ekvipotenciális felületre. Ez könnyen belátható a (15) képlet segítségével. Valójában válasszuk az állandó energiájú felület mentén történő mozgást. Ekkor tehát az erő vetülete a felületre egyenlő nullával Így például egy gömbszimmetrikus tömegeloszlású M tömegű test által létrehozott gravitációs térben a tömegtest potenciális energiája adott. egy ilyen mező állandó energiájú felületei olyan gömbök, amelyek középpontja egybeesik az erőközponttal.

A tömegre ható erő merőleges az ekvipotenciális felületre és az erőközéppont felé irányul. Ennek az erőnek az erőközéppontból húzott sugárra való vetülete a potenciális energia (5) kifejezéséből a (15) képlet segítségével található meg:

mi ad

A kapott eredmény megerősíti a potenciális energia fentebb bizonyítás nélkül megadott kifejezését (5).

Az egyenlő potenciális energia értékű felületek vizuális ábrázolása egy egyenetlen terep példájából rajzolható meg

terep. A földfelszínen ugyanazon vízszintes szinten elhelyezkedő pontok a gravitációs mező potenciális energiájának azonos értékeinek felelnek meg. Ezek a pontok folytonos vonalakat alkotnak. A topográfiai térképeken az ilyen vonalakat szintvonalaknak nevezzük. Könnyű visszaállítani a dombormű összes jellemzőjét a vízszintes vonalak mentén: dombok, mélyedések, nyergek. A meredek lejtőkön a vízszintes vonalak sűrűbbek és közelebb állnak egymáshoz, mint a szelídeken. Ebben a példában a potenciális energia egyenlő értékei vonalaknak felelnek meg, nem felületeknek, mivel itt egy erőtérről beszélünk, ahol a potenciális energia két koordinátától függ (és nem háromtól).

Magyarázza el a potenciális és a nem potenciális erők közötti különbséget!

Mi a potenciális energia? Milyen erőtereket nevezünk potenciálnak?

Szerezzen (2) kifejezést a gravitáció munkájára a Föld egyenletes mezőjében.

Mi az oka a potenciális energia kétértelműségének, és miért nincs ez a kétértelműség a fizikai eredményekre?

Bizonyítsuk be, hogy egy potenciális erőtérben, ahol a test két pont közötti mozgatásakor végzett munka nem függ a pálya alakjától, a test bármely zárt pályán való mozgása során végzett munka nulla.

Adja meg a (6) kifejezést egy tömegű test potenciális energiájára a Föld gravitációs terében. Mikor érvényes ez a képlet?

Hogyan függ a Föld gravitációs mezőjének potenciális energiája a felszín feletti magasságtól? Tekintsünk olyan eseteket, amikor a magasság kicsi, és amikor összehasonlítható a Föld sugarával.

Jelölje be a potenciális energia távolság függvényében ábrázolt grafikonon (lásd 118. ábra) azt a tartományt, ahol a lineáris közelítés (7) érvényes.

A potenciális energia képletének levezetése. A központi gravitációs mező potenciális energiájára vonatkozó (5) képlet meghatározásához ki kell számítani a térerők munkáját, amikor egy tömegű testet mentálisan egy adott pontból a végtelenben lévő pontba mozgatnak. A (4) képlet 31. §-a szerinti munkát a test mozgási pályája mentén fellépő erő integrálja fejezi ki. Mivel ez a munka nem függ a pálya alakjától, az integrál kiszámítható a számunkra érdekes ponton átmenő sugár mentén történő mozgásra;